Derivadas de Orden Superior

La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En la Figura 1 se observa que la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo (−2,0) y se curva hacia arriba en el intervalo (0,5).

Figura 1

Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es:

i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)

ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)

Ejemplos:

1)

Figura 2

Observa que la función f(x) = x2 es cóncava hacia arriba y su derivada f’(x) = 2x es creciente en el intervalo (−5,5).

2)

Figura 3

Observa que la función f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo y su derivada f’(x) = −2x es decreciente en el intervalo (−5,5).

Teorema: Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:

i) si f”(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).

ii) si f”(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b).

Ejemplos:

1) En la Figura 2, tenemos que para f(x) = x2 la segunda derivada es positiva,

esto es, f”(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

2) En la Figura 3, tenemos que para f(x) = -x2 la segunda derivada es negativa,

esto es, f”(x) = −2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Definición: El punto de inflexión de una gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa).

Observa que en Figura 1, la gráfica tiene un cambio de concavidad en el punto (0,0). A la izquierda de este punto la gráfica es cóncava hacia abajo y a la derecha de este punto la gráfica es cóncava hacia arriba. Por tanto, (0,0) es un punto de inflexión.

Como el punto de inflexión se presenta donde cambia la concavidad de la gráfica, también es cierto que el signo de la segunda derivada (f”) cambia es estos puntos. De manera que, para localizar los puntos de inflexión, calculamos los valores de x para los que f”(x) = 0 ó para los que f”(x) no existe.