Derivadas de Orden Superior

La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En la Figura 1 se observa que la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo (−2,0) y se curva hacia arriba en el intervalo (0,5).

Figura 1

Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es:

i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)

ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)

Ejemplos:

1)

Figura 2

Observa que la función f(x) = x2 es cóncava hacia arriba y su derivada f’(x) = 2x es creciente en el intervalo (−5,5).

2)

Figura 3

Observa que la función f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo y su derivada f’(x) = −2x es decreciente en el intervalo (−5,5).

Teorema: Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:

i) si f”(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).

ii) si f”(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b).

Ejemplos:

1) En la Figura 2, tenemos que para f(x) = x2 la segunda derivada es positiva,

esto es, f”(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

2) En la Figura 3, tenemos que para f(x) = -x2 la segunda derivada es negativa,

esto es, f”(x) = −2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Definición: El punto de inflexión de una gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa).

Observa que en Figura 1, la gráfica tiene un cambio de concavidad en el punto (0,0). A la izquierda de este punto la gráfica es cóncava hacia abajo y a la derecha de este punto la gráfica es cóncava hacia arriba. Por tanto, (0,0) es un punto de inflexión.

Como el punto de inflexión se presenta donde cambia la concavidad de la gráfica, también es cierto que el signo de la segunda derivada (f”) cambia es estos puntos. De manera que, para localizar los puntos de inflexión, calculamos los valores de x para los que f”(x) = 0 ó para los que f”(x) no existe.

Maximos y Minimos De Una funcion

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F’(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))

Mínimos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F’(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).

Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

Funciones Crecientes y Decrecientes

Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo .

De esta esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abcisa

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

Una función es estrictamente decreciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que es estrictamente decreciente en el intervalo .

Introcucion de Derivada

Derivadas

Rectas tangentes y secantes a una curva. Pendiente

Una recta es secante a una curva cuando la corta en dos puntos distintos. Es tangente a la curva cuando la toca en un sólo punto.

La pendiente de la recta secante a la curva de la figura es el cociente :

La pendiente de la recta tangente a la curva de la figura en un punto es el cociente :

Tasa de variación media

La tasa de variación media de una función y=f(x) en un intervalo [a,b] es el cociente entre la variación de la función desde el punto a hasta el punto b y b-a. La representamos por TVM[a,b] y es:

Como se aprecia en la figura superior, la tasa de variación media de la función f(x) coincide con la pendiente de la recta secante a f(x) en los puntos x=a y x=b.

Derivada de una función en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es finito, de las tasas de variación media, TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero. La representamos por f’(a) y es :

Que también se llama tasa de variación instantanea y nos indica la variación instantanea de la función en ese punto.

Derivada de una función en un punto.Explicacion dinámica

Una función y=f(x) es derivable en x=a si y sólo si tiene derivada finita en ese punto.

Función derivada.

La función derivada de una función y=f(x), que sea derivable en su dominio, es una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en ese punto. La representamos por f’(x) o y’ y viene dada por :

Ejemplo:

Función derivada. Explicación dinámica

Derivadas laterales

La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasas de variación media TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero por la izquierda del cero, es decir tomando sólo valores negativos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la izquierda y es :

Derivada lateral por la izquierda.Explicación dinámica

La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasas de variación media, TVN[a,a+h] cuando h tiende a cero por la derecha del cero, es decir, tomando sólo valores positivos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la derecha y es:

Derivada lateral por la derecha. Explicación dinámica

Si en un punto x=a, las derivadas laterales no coinciden, es decir, son distintas, la función no es derivable en el punto x=a.

Si la función tiene derivada en un punto x=a, existen las derivadas laterales y son iguales:

Relación entre continuidad y derivabilidad

Regla de Cadena

Veremos en esta sección algunas de las derivadas de funciones más usuales. Empecemos con la función trigonométrica seno. 1. Sea f ( x ) = sen ( x ) entonces

luego pasando al límite nos queda que

y puesto que el primer límite del segundo miembro es 0 y el segundo límite del segundo miembro es 1 (hacer click en cada uno de los límites para ver la demostración) se concluye que

(1)

2. Con la derivada de (1) más la regla de la cadena podemos calcular rápidamente la derivada de la función coseno. En efecto, sabemos que

luego derivando ambos miembros de esta igualdad, aplicando (1) y la regla de la cadena tenemos que

simplificando nos queda que

(2)

3. Con las derivadas en (1) y (2) podemos obtener mediante la regla del cociente la derivada de la tangente, esto es

y se tiene que

(3)

En definitiva, con estas derivadas puede obtener las derivadas de las restantes funciones trigonométricas, a saber cotangente, cosecante y secante puesto que son las inversas de las tres anteriores, y aplicamos la regla del cociente para las funciones 1 / tg( x ), 1/ sen( x ) y 1 / cos ( x ) respectivamente. 4. Vamos a calcular la derivada del logaritmo natural, ln( x ) aplicando simplemente la definición de logaritmo y la regla de la cadena. Preste mucha atención: Sea y = ln( x ), esto significa que

y es a esta igualdad que derivamos respecto de la variable x (Ojo: y es una función de x, la derivada de x es 1, y la derivada de la función exponencial ya fue calculada), nos queda

ahora despejamos la derivada dy / dx, y obtenemos que

pero como e y = x, tenemos la fórmula

(4)

Con estas sencillas fórmulas, más las reglas de las derivadas para la suma, resta, producto y cociente de funciones tenemos herramientas más que suficiente para realizar el cálculo de derivadas de funciones más complicadas. Ejemplo: calcular la derivada de . Puesto que sabemos calcular la derivada de una raíz, la derivada de una potencia cúbica, la derivada de la función seno y la derivada de 4x, estamos en condiciones de realizar cuidadosamente esta derivada:

Reglas de Derivacion

Reglas de derivación

Teorema

Derivada de una constante por una función

H) f es derivable en x=a

T) (kf(a))’ = k.f’(a)

Demostración:

f’(a)
------^------
k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f(a))

(k.f(a))’ = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f’(a)

x→a x - a x→a x - a

Nota:

El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada: (kf)’(x) = k.f’(x), si f es derivable en x.

Teorema

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a

T) f+g es derivable en x=a

(f+g)’(a) = f’(a) + g’(a)

Demostración:

(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a)

(f+g)’(a) = lim ------------------- = lim -------------------------

x→a (x-a) x→a (x-a)

f(x) - f(a) g(x) - g(a)
= lim ----------- + ------------ = f’(a) + g’(a)
x→a (x-a) (x-a)

Notas: En general (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x), si f y g son derivables en x. El teorema se extiende a más de dos funciones. Ejemplo (x + Lx)’ = x’ + (Lx)’ = 1 + 1/x

Teorema Derivada del producto H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a T) f.g es derivable en x=a

(f.g)’(a) = f’(a).g(a) + f(a).g’(a)

Demostración:

(f.g)(x) - (f.g)(a) f(x).g(x) - f(a).g(a)

(f.g)’(a) = lim ------------------- = lim --------------------

x→a (x-a) x→a (x-a)

f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)

= lim ------------------------------------------ =

x→a (x-a)

f’(a) g’(a)

(*) g(a) -----^----- -----^-----

-^- (f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))

lim g(x)------------- + f(a)------------- = f’(a).g(a) + g’(a).f(a) x→a (x-a) (x-a)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a

(def. de continuidad) existe g(a) y limx→ag(x)=g(a).

Notas:

(f.g)’(x) = f’(x).g(x) + f(x).g’(x). Generalización para tres funciones: (f(x).g(x).h(x))’ = f’(x).g(x).h(x) + f(x).g’(x).h(x) + f(x)g(x).h’(x)

Ejemplo (x2.sen x)’ = 2xsen x + x2cos x

Teorema Derivada del cociente H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de 0 T) f/g es derivable en x=a

(f/g)’(a) = (f’(a).g(a) - f(a).g’(a))/g2(a)

Demostración:

(f/g)(x) - (f/g)(a) f(x)/g(x) - f(a)/g(a)

(f/g)’(a) = lim ------------------- = lim ---------------------

x→a x - a x→a x - a

f(x)g(a) - g(x)f(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a)

= lim ----------------------------------------- =

x→a (x - a)g(x)g(a)

f’(a) g’(a)
-----^----- -----^-----
(f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))
g(a)------------- - f(a)------------- g(a)f’(a) - f(a)g’(a)

lim x - a x - a = -------------------- x→a ------------------------------------ g2(a)

g(x)g(a)
‘→ g(a) (*)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a

(def. de continuidad) existe g(a) y limx→ag(x)=g(a).

Nota: (f/g)’(x) = (f’(x)g(x) - f(x)g’(x))/g2(x). Ejemplo

(cos x)x2 - (sen x)2x xcos x - 2sen x

(sen x/x2)’ = --------------------- = ---------------

x4 x3

Teorema Derivada de la función compuesta Regla de la cadena H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=f(a) T) gof es derivable en x=a

(gof)’(a) = g’[f(a)].f’(a)

Demostración:

g[f(x)] - g[f(a)]

(gof)’(a) = [g[f(x)]’(a) = lim ----------------- =

x→a x - a

g’[f(a)] f’(a)
--------^-------- ----^----
g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

lim ------------------ . ---------- = g’[f(a)].f’(a) x→a f(x) - f(a) x - a

Nota: (gof)’(x) = g’[f(x)].f’(x). Ejemplo 1 h(x) = ex2 + 2x

h es la composición de g(x) = ex y f(x)=x2 + 2x.

h’(x) = g’[f(x)].f’(x) = ex2+2x.(2x + 2)

Ejemplo 2 h(x) = sen(x2)

h es la composición de g(x)=sen x y f(x)=x2.

h’(x) = g’[f(x)].f’(x) = cos (x2).2x

Teorema Derivada de la función inversa H) f es derivable en x=a (f’(a) distinto de 0)

f-1(x) es continua en f(a)

T) f-1 es derivable en x=f(a).

[f-1(f(a))]’ = 1/f’(a)

Demostración:

Queremos calcular

f-1(x) - f-1(f(a)) f-1(x) - a

lim ----------------- = lim ------------ x→f(a) x - f(a) x→f(a) x - f(a)

Definamos g(x)=(f(x) - f(a))/(x - a) para todo x distinto de a.

Consideremos (gof-1)(x) / (gof-1)(x) = g[f-1(x)]

1) lim f-1(x) = a pues f-1(x) es continua en f(a) por H)

x→f(a)
f(x) - f(a)

2) lim g(x) = lim ----------- = f’(a) pues f es derivable en a

x→a x→a x - a por H)

De 1) y 2) por límite de la función compuesta

lim g[f-1(x)] = f’(a) x→f(a)

f[f-1(x)] - f(a) x - f(a)

g[f-1(x)] = ---------------- = ----------

f-1(x) - a f-1(x) - a

f-1(x) - a 1

lim ------------ = -----

x→f(a) x - f(a) f’(a)

Nota: (f-1)’(f(x)) = 1/f’(x). Ejemplo y = f(x) = ex

x = f-1(y) = Ly

f-1′(f(x)) = 1/f’(x) = 1/ex = 1/y

Así, la derivada de Ly es 1/y.

f

Ly = x --------→ ex = y

←------

Definiendo Una Derivada

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. (El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.) La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.

La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere al gráfico de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad.

Introduccion a Derivadas

Sea continua en [a, b] y diferenciable en (a, b).

(i) Si f’(x)>0 para toda x en (a, b) entonces f es creciente en [a, b]

(ii) Si f’(x)<0>0 para x > 0 se llega a la información dada de la tabla.

Intervalo Signo de la f’(x) Y=f(x)

(-∞,0] - decremento

[0, ∞) + incremento

MAXIMOS Y MINIMOS

Supóngase que una función f esta definida en un intervalo I. Los valores máximos y mínimos de f en I (si hay algunos) se llaman extremos de la función. En las dos siguientes definiciones, se distingue dos clases de extremos.

Extremos absolutos

(i) Un numero f (c1) en una máximo absoluto de una función f si f(x) ≤ f (c1) para toda x en el dominio de f.

(ii) Un numero f (c1) en una máximo absoluto de una función f si f(x) ≥ f (c1) para toda x en el dominio de f.

Los extremos absolutos se denominan también extremos globales.

Ejemplos

a) Para f(x)=sen x, su máximo absoluto es y su mínimo absoluto es

b) La función f(x)=x2 tiene el mínimo absoluto f(0)=0 pero no tiene máximo absoluto

c) no tiene máximo ni mínimo absoluto

Concavidad

A menudo se dice que una forma es cóncava hacia arriba “retiene el agua” mientras que una forma cóncava hacia abajo “Derrama el agua”

Sea f diferenciable en (a, b)

(i) Si f’ es una función creciente en (a, b), entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo

(ii) Si f’ es una función decreciente en (a, b), entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo.

En otras palabras, si la pendiente de la recta tangente aumenta (disminuye) en (a, b), entonces la grafica de la función es cóncava hacia arriba (abajo) en el intervalo. En forma equivalente, la grafica de la función es cóncava hacia arriba en un intervalo, si en cualquier punto de la grafica esta situado por encima de la tangente en el punto. Una grafica que es cóncava hacia abajo en un intervalo esta situado por debajo de las rectas tangentes.

Ejemplos:

Encontrar todos los puntos de inflexión de f(x)=-x3+x2

Solución:

Las derivadas primera y segunda de f son, respectivamente.

f’(x)=−3×2+2x y f’’(x)=−6x+2

Puesto que f’’(x)=0 en , el punto , es el único punto de flexión posible.

Ahora bien:

f’’(x)=6(-x+ )>0 para x<>

Implica que la grafica de f es cóncava hacia arriba en (-∞, ) y hacia abajo en ( , ) es un punto de inflexión

CRITERIOS DE LA PRIMERA Y DE LA SEGUNDA DERIVADA

El saber si una función tiene o no tiene extremos relativos es de gran ayuda para trazar la grafica de una función. Y se conciben dos criterios para determinar cuando un valor crítico es un extremo relativo. Estos valores críticos son: primera derivada y segunda derivada.

Primera derivada

Supongase que f es diferenciable en (a, b) y que c es un valor critico en el intervalo. Si d’(x)<0>0 para todo x en (c, b)entonces f© es un mínimo relativo.

Extremos relativos

Sea f continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), excepto posiblemente en el valor critico de c.

(i) Si f’(x)>0 para a<0>0 para a<0>0 para -∞<0><3 y="f(x)">0, entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba en cierto intervalo (a, b) que contiene a c. Entonces f© es, necesariamente un mínimo relativo. De manera semejante, f’’© es un máximo relativo. Esto se llama anterior de la segunda derivada.

ENTREMOS RELATIVOS.

Sea f una función para la cual f’’ existe en un intervalo (a, b) que contiene al numero critico c.

(i) Si f’’©>0, entonces f© es un mínimo relativo

(ii) Si f’’©<0, 2x="2x(2×2–1)">

Funciones Continuas

Intuitivamente, una función f es continua si su gráfica no contiene interrupciones, ni saltos ni oscilaciones indefinidas. Aunque esta descripción es, por lo general, suficiente para decidir si una función es continua observando simplemente su gráfica, es fácil engañarse, y la definición rigurosa es muy importante. (Spivak, 132)]

[Las funciones continuas constituyen la clase básica de funciones para las operaciones del análisis matemático. La idea general de función continua viene a ser la de que su gráfica sea continua; esto es, que la curva pueda dibujarse sin separar el lápiz del papel. (Aleksandrov, 1, 117)]

Intervalos finitos

[Sean a y b dos números tales que a < b. El conjunto de todos los números x comprendidos entre a y b recibe el nombre de intervalo abierto de a a b y se escribe a < x < b. Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos.

El intervalo abierto a < x < b junto con sus extremos a y b recibe el nombre de intervalo cerrado de a a b y se escribe a £ x £ b.

Sea a un número cualquiera. El conjunto de todos los números x tales que x < a recibe el nombre de intervalo infinito. Otros intervalos infinitos son los definidos por x £ a, x > a y x ³ a. (Ayres, 2)]

Definición de función continua

[La función f es continua en a si

.

(Spivak, 132)]

[Una función se dice continua en un intervalo dado si es continua en todo punto x de este intervalo…

Así, para dar una definición matemática de esa propiedad de las funciones que viene caracterizada por el hecho de que su gráfica sea continua (en el sentido usual de la palabra), fue necesario definir primero la continuidad local (continuidad en el punto a), y luego, a partir de ella, definir la continuidad de la función en todo el intervalo. (Aleksandrov, 1, 118–9)]

Teorema de Limites

1.- SI “C” es una constante el limite “c” cuando “x” tiende a “a” es igual a “c”

Lim C = C

x – a

2.- el limite “x” cuando “x” tiende a “a” es igual a “a”

Lim x =a

X – a

3.- si “c” es una constante y “f” es una función el limite del producto constante por función cuando “x” tiende a “a” es igual al producto de la constante por le limite de la función.

Lim c f (x) = c lim f (x)

X –a x –a

4.- si “f” y “g” son funciones el limite de un producto de funciones cuando “x” tiende a “a” es igual al producto de los limites de las funciones.

Lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x)

X –a x –a x – a

Esta propiedad también se expresa en forma mas general para cualquier entero positivo “n” por:

Lim xn = an

X – a

5.- si “f” y “g” son dos funciones el limite de una suma o diferencia cuando “x” tiende a “a” es igual al cociente de los limites de las funciones siempre y cuando el limite de la función del denominador sea diferente de 0:

lim f (x) = lim f (x) , si lim g (x) = 0

x – a g (x) x – a x - a

lim g (x)



x – a

6.- si “f” y “g” son funciones el límite de un cociente cuando “x” tiende a “a” es igual al cociente de los límites de las funciones, siempre y cuando el limite de la función del denominador sea diferentes cero:

lim f(x) = lim f(x) = si lim g(x) diferente a 0
x-a

x-a g(x) x-a

----
lim g(x)

x-a

Idea de Un limite

La idea de límite es central en el estudio del cálculo

y ha sido usada en muy diversas formas a través de los

siglos. Desde los Griegos varios siglos antes de Cristo, en

el método de exhausión, donde Arquímedes ocupa un lugar muy

importante, varios siglos más tarde Newton la usó en sus

famosos fluxiones con los cuales desarrolló el cálculo y

Cauchy que formalizó la idea con la definición que conocemos

en nuestros días.

Para ilustrar este concepto tan importante empezaremos por un ejemplo.

Consideremos la función f(x)=1-(x-2)2 y

analicemos que sucede con los valores de la imagen cuando x toma valores cerca de 2.

Si tabulamos con y = f(x) tenemos lo siguiente

x | 1 | 1.5 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.05 | 2.01

Aplicacion de Funciones

- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si una función f(x) consiste en hallar el seno de x y otra función g(x) consiste en extraer la raíz cuadrada de x, la función g[f(x)] consistirá en extraer la raíz cuadrada del seno de x.

x

f(x)=sen(x)

La función g[f(x)] es la compuesta de

y





En esta escena están representadas las funciones:

También pueden verse los puntos:

• P[a,f(a)] de la función f(x)

• Q[a,g(a)] de la función g(x)

• R{a,g[f(a)]} de g[f(x)]

Observa para cada valor de x=a, cómo se calcula la ordenada del punto R de la función compuesta de f y g, y escribe en tu cuaderno la respuesta a las siguientes preguntas:

a) ¿para qué valores de x desaparece el punto R y no existe la función compuesta?

b) ¿por qué ocurre esto?

En general, dadas dos funciones f y g

x

f(x)

g[f(x)]



g º f

La función g º f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[f(x)]

.

EJERCICIO 12

Sean

y

¿Cuánto vale f(4)? ¿y g(2)?

Calcula g[f(4)] y g[f(0.5)]

¿Cuál es la función gºf(x)?

Haz este ejercicio en tu cuaderno y compruébalo en la escena de la izquierda.

El concepto de función corresponde a una idea intuitiva presente en el idioma de la calle: los impuestos que pagan las personas están (o deberían estar) en función de los ingresos, los resultados obtenidos en los estudios son función del tiempo dedicado a estudiar, el consumo de gasolina en un viaje es función de (“depende de”) los kilómetros recorridos, la estatura es función de la edad, el número de escaños obtenidos por un partido político después de unas elecciones es función del número de votos obtenidos (ley de Hónt), el área de un cuadrado es función del lado, el volumen de agua que contiene una piscina es función de sus medidas, la proporción de Carbono 14 presente en una momia egipcia es función del tiempo transcurrido desde la muerte, etc.

________________________________________

1. TABLAS DE DATOS

Examinemos los siguientes datos que relacionan un número “x” perteneciente al conjunto

A={ −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} con su duplo (“2x”):

x −3 −2 −1 0 1 2 3

2x −6 −4 −2 0 2 4 6

Desde el punto de vista matemático se trata de una función que transforma el conjunto de números: A={ −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} en otro conjunto de números: B={−6, −4, −2, 0, 2, 4, 6}. Se dice que esta función actúa de la siguiente forma: f(x)=2x, y que la imagen de −2 es −4, y la de 3 es 6 (f(−2) = −4, f(3) = 6). Decimos que la imagen inversa de 2 es 1 y la de 4 es 2

(f-1(2) = 1, f-1(4) = 2).

Además de la expresión analítica de una función (f(x) = 2x), se suelen utilizar gráficas para visualizarlas y entenderlas de una forma rápida:

¿Tiene sentido en este ejemplo unir los puntos mediante una recta?

Busca otros ejemplos de funciones que transformen conjuntos de pocos números en otros conjuntos de números.

2. SUCESIONES (páginas 88–91 del libro)Se llama sucesión de números reales a toda función que hace corresponder a cada número natural (1, 2, 3, 4, 5, …..) un número real. Ejemplos típicos son las progresiones aritméticas (2, 5, 8, 11, 14,…..) y las progresiones geométricas ( 3, 6, 12, 24,…). Otras sucesiones que no son progresiones son las siguientes:

los cuadrados de los números naturales 1, 4, 9, 16, 25,…..; los números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…..; los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15,…..En este tipo de funciones, por ejemplo en la última, en lugar de escribir f(1)=1, f(2)=3, f(3)=6, etc., se suele escribir: a1=1, a2=3, a3=6, y al término general se le designa por an

3. INTERPOLACIÓN

Se trata de un problema importante que trataremos un poco más adelante.

4. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una? función es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo).

Por ejemplo la función f(x) = 1/x asocia a cada número real distinto de cero su inverso. El subconjunto formado por los números reales que tienen imagen, se llama dominio de la función. En este ejemplo el dominio está formado por todos lonúmeros realesdistintos del cero. D(f) = R - {0}.Por ejemplo la función f(x) = tiene por dominio al conjunto de los números reales mayores o iguales que cero, ya que la raíz de números negativos no se puede calcular.A continuación vamos a ver algunos ejemplos para recordar los conceptos de imagen de un elemento, de imagen inversa y de dominio. Después recordaremos y experimentaremos con las gráficas de algunas funciones.

5. IMAGEN DE UN ELEMENTO.En la siguiente imagen pulsa en el punto x (original) que está sobre el eje de abcisas y podrás ver su imagen sobre el eje de ordenadas (f(x)). Halla las imágenes de −1, 2, 3, 1/2, 0.7 y −4/3 y anota los resultados. ¿Cuál es el conjunto imagen de esta función? ¿Podrías dar la expresión analítica de la función?

6. IMAGEN INVERSA o RECÍPROCA DE UN ELEMENTOEn la siguiente imagen pulsa sobre y para ver cuál es el valor de su imagen inversa, es decir de f-1(y). Halla las imágenes inversas de 4, 9, 2.5, 1/3 y −3. ¿Cuál es el dominio y cuál el conjunto imagen de la función?

7. ¿QUÉ PUNTOS (X, Y) SON LOS QUE ESTÁN SOBRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN?

Es importante tener claro qué puntos son los que están sobre la gráfica de una función determinada. Por ejemplo, si f(x) = x2 (a veces, como ya sabes, se escribe: y=x2)¿cuálesde los siguientes puntos estarán sobre la gráfica de esa función: A(0, 1) B(0, 0), C(−1, 1/10), D(3, 6), E(3, 9). Contesta a la misma pregunta si la función es: f(x) = 3x + 1 y si los puntos son: A(1,4), B(0, 0), C(0, 1), D(4,11), E(4, 13).La siguiente figura está preparada para que al mover el punto P veas sus coordenadas y compruebes si está sobre la gráfica o no:

8. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Una? función “f (x)” lo que hace es transformar números “x” en nuevos números que designamos por “f(x)”. A veces sobre un elemento x actúa primero una función “f” y, después, sobre su imagen vuelve a actuar otra función “g”. Por ejemplo si f(x) = x2 y g(x) = 2x+1, veamos que sucede con le número 2 al actuar primero f y luego g sobre la imagen obtenida. f(2)=4 y g(4) = 9. Resumiendo hemos pasado del 2 al número 9. Esta nueva función que se obtiene haciendo actuar primero f y luego g se llama “f compuesta con g” y se escribe: “gof”. Lo que hemos hecho con el número 2 se suele escribir de la siguiente forma:

(gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 9.

Para un número “x” cualquiera tenemos: (gof)(x) = g(f(x)) = g(x2) = 2×2+1. Halla (fog)(x) y (gof)(x) cuando a) f(x) = 1/x y g(x)=2×3+4x-1 b) f(x) =2×2-x y g(x) = x+1Vamos a ver el asunto de la composición de funciones gráficamente para el caso del ejemplo que hemos visto en primer lugar:

Es siguiente applet es casi igual que el anterior, pero incorpora una pequeña novedad. Incorpora un nuevo punto: C, que es el punto que corresponde a la gráfica de gof para el valor “x”. Ese punto, por tanto, describe, al moverse “x” sobre el eje de abcisas, la gráfica de gof. Para que se pueda observar esa gráfica cambia el valor de “x” y observa que el punto C la va dibujando en color rojo:

Definición 98 (Composición de relaciones) Si y son relaciones, definimos la relación existe tal que y .

Dos funciones pueden componerse, dado que son relaciones: consideremos el caso particular en que , y son funciones. Por definición de composición: , para algún , para algún . Note que es una función, pues si , entonces .

Por lo anterior, es el conjunto de parejas de la forma . Volviendo a la analogía con las máquinas, si y son máquinas, entonces es la máquina que funciona así:

recibe un elemento y lo introduce en la máquina para obtener .

introduce a en la máquina para obtener .

En resumen, ha transformado a en . En el anterior proceso la máquina le aplica a . Para que esto tenga sentido se requiere que . Ahora, si , entonces , luego puede aplicarse a y tiene sentido (está definido). Además, . Lo anterior nos permite concluir que , y que , es decir,

Lo anterior lo resumimos en el siguiente lema (que es prácticamente una definición):

Lema 99 (composición de funciones) Sean Y funciones. Entonces es la siguiente función:

[Es decir, .]

Si y son como arriba y , entonces decimos que es una factorización de y . Esto lo podemos expresar mediante cualquiera de los siguientes diagramas:

Ejemplo 100 Sea la función y la función . Entonces es la función . Por otro lado, es la función . Note que y son funciones distintas (por ejemplo , luego ).

Observación 101 La composición de funciones no es necesariamente conmutativa.

Para antes de seguir leyendo: Si , entonces:

. . Finalmente observamos que la composición de funciones es asociativa. Esto es, si , y , entonces:

Lo anterior vale pues ambas funciones tienen el mismo dominio (), y para todo , .

Composicion de funciones

Dos funciones pueden componerse, dado que son relaciones: consideremos el caso particular en que , y son funciones. Por definición de composición: , para algún , para algún . Note que es una función, pues si , entonces .

Por lo anterior, es el conjunto de parejas de la forma . Volviendo a la analogía con las máquinas, si y son máquinas, entonces es la máquina que funciona así:

recibe un elemento y lo introduce en la máquina para obtener .

introduce a en la máquina para obtener .

En resumen, ha transformado a en .

En el anterior proceso la máquina le aplica a . Para que esto tenga sentido se requiere que . Ahora, si , entonces , luego puede aplicarse a y tiene sentido (está definido). Además, . Lo anterior nos permite concluir que , y que , es decir,

Lo anterior lo resumimos en el siguiente lema (que es prácticamente una definición):

Lema 99 (composición de funciones) Sean Y funciones. Entonces es la siguiente función:

Es decir, .

Si y son como arriba y , entonces decimos que es una factorización de y . Esto lo podemos expresar mediante cualquiera de los siguientes diagramas:

Ejemplo 100 Sea la función y la función . Entonces es la función . Por otro lado, es la función . Note que y son funciones distintas (por ejemplo , luego ).

Observación 101 La composición de funciones no es necesariamente conmutativa.

Para antes de seguir leyendo: Si , entonces:

. . Finalmente observamos que la composición de funciones es asociativa. Esto es, si , y , entonces:

Lo anterior vale pues ambas funciones tienen el mismo dominio (), y para todo , .

Funciones Inversas

Sea f una función real biyectiva, cuyo dominio (conjunto de definición) es I y cuyo conjunto imagen es J = f(I). Por ser biyectiva, f admite una

función recíproca o inversa, denotada f −1.

Definición: g es la función recíproca de f si para todo x en I, f(x) = y equivale a g(y) = x.

Como consecuencia, g tiene como dominio J, y como conjunto imagen I : g(J) = I.

Por simetría de la relación, resulta que si g es la recíproca de
f entonces f es la recíproca de g.

En el ejemplo, I = [ −6; 2 ] y J = [ −6 ; 6 ].

Funciones exponenciales

La funcion f(x)=2x se llama funcion exponencial por que la variable “x” es el exponente.

En general una funcion exponencial es de la forma f(x)=ax

donde a es una constante positiva.

Si x=n, es un entero positivo, entonces:

an=a*a*a*a….*a(se multiplica la veces de mismo numero de n).

Si x=0, entonces a0=1

Si x=-n donde n es un entero positivo enotnces a-n=1/a*n

Y si x es un numero racional, x=p/q donde “p” y “q” son enteros y q>0, entonces:

ax=a2/q

Grafica de Funciones

La gráfica de una función

La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x está en el dominio de la función y además y=f(x).

A continuación discutiremos algunos tipos importantes de funciones y observaremos sus gráficas. Pon atención a la forma que tienen las gráficas de estas funciones. Todos los ejemplos son de funciones algebráicas, discutiremos otros tipos de funciones, como las funciones trigonométricas, más adelante. Por lo pronto, observa las siguientes funciones y sus gráficas.

Función constante: f(x)=k, donde k es alguna constante

¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?

Función lineal: f(x) = ax + b

¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?

Función cuadrática: f(x)= ax2 + bx + c = a(x - x0)2 + y0 El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= x2 + 2 x + 1 = (x + 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= 2 x2 + x = (x + 1)2 - 1

El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= 2 x - x2 = 1 - (x - 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola. ¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?

¿Qué significancia tienen los números a, x0, y0 para la gráfica de la función f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x) = 10 + 2 x - 2 x2

21 1

=

- 2 [-(

) + x2]
2 2

Función polinomial

P(x) = x3 - 3×2 + 2x - 7

Función racional Una función racional es un cociente de dos polinomios, f(x) = P(x) / Q(x)

x + 4

f(x) =

x2 - 16



¿Qué sucede en los valores de x en los que el denominador es igual a cero?

Función potencia: f(x)= k xn En donde k es cualquier constante real y n es un número real.

Por lo pronto nos restringiremos a exponentes racionales. Funciones como xPi serán discutidas más tarde. El dominio de una función potencia depende del exponente n.

f(x)= x-1

f(x)= x1/3

f(x)= x1/2

f(x)= x2/3

Función definida por secciones

No es necesario que una función esté definida por una sola fórmula. La regla de correspondencia puede depender de qué parte del dominio proviene la variable independiente.

En las siguientes dos gráficas veremos dos ejemplos de funciones definidas por secciones.

f(x)={ x2 , 4 x , si 0 <= x <= 5

f(x)={ -x2 , si x < 0 3 , si 0 <= x < 1 2 x - 1 , si x >= 1

Concepto Basico de funcion

Concepto de función.

La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva. Pasamos a definirla.

Definición.

Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B.

Ejemplo

Supongamos que consideramos la relación entre el conjunto de los números pares:

A = { … −4,−2,0,2,4, … }

y el conjunto de los números impares:

B = { … −3,−1,1,3, … }

y sea la relación que se establece entre ellos la siguiente: a todo elemento x de A le asociamos x+5. Si llamamos y al resultado, tendremos la relación definida de la forma y = x + 5

Para afirmar que tal relación es también una función debemos contestar a dos cuestiones:

1) ¿Todo elemento de A tiene su correspondencia en B? O dicho de otra forma, a todo elemento del conjunto de los números pares ¿se le pueden sumar 5 unidades y el resultado es un número impar? Evidentemente la respuesta es afirmativa.

2) ¿Para cada elemento b deB que esté relacionado con a de A, podrá existir otro c de B que también se relacione con el mismo a de A? En este caso la respuesta es negativa; cada elemento tiene una ysólo una imagen.

Por lo tanto, la relación anterior es una función, la cual suele escribirse de la forma:

F(x) = y = x + 5

queriendo con ello indicar que a esta función le llamamos F, de tal forma que para cualquier x del conjunto A le asocia ese valor más 5 unidades a cuya suma le llamamos “y”, es decir:

x + 5 = y