Regla de Cadena

Veremos en esta sección algunas de las derivadas de funciones más usuales. Empecemos con la función trigonométrica seno. 1. Sea f ( x ) = sen ( x ) entonces

luego pasando al límite nos queda que

y puesto que el primer límite del segundo miembro es 0 y el segundo límite del segundo miembro es 1 (hacer click en cada uno de los límites para ver la demostración) se concluye que

(1)

2. Con la derivada de (1) más la regla de la cadena podemos calcular rápidamente la derivada de la función coseno. En efecto, sabemos que

luego derivando ambos miembros de esta igualdad, aplicando (1) y la regla de la cadena tenemos que

simplificando nos queda que

(2)

3. Con las derivadas en (1) y (2) podemos obtener mediante la regla del cociente la derivada de la tangente, esto es

y se tiene que

(3)

En definitiva, con estas derivadas puede obtener las derivadas de las restantes funciones trigonométricas, a saber cotangente, cosecante y secante puesto que son las inversas de las tres anteriores, y aplicamos la regla del cociente para las funciones 1 / tg( x ), 1/ sen( x ) y 1 / cos ( x ) respectivamente. 4. Vamos a calcular la derivada del logaritmo natural, ln( x ) aplicando simplemente la definición de logaritmo y la regla de la cadena. Preste mucha atención: Sea y = ln( x ), esto significa que

y es a esta igualdad que derivamos respecto de la variable x (Ojo: y es una función de x, la derivada de x es 1, y la derivada de la función exponencial ya fue calculada), nos queda

ahora despejamos la derivada dy / dx, y obtenemos que

pero como e y = x, tenemos la fórmula

(4)

Con estas sencillas fórmulas, más las reglas de las derivadas para la suma, resta, producto y cociente de funciones tenemos herramientas más que suficiente para realizar el cálculo de derivadas de funciones más complicadas. Ejemplo: calcular la derivada de . Puesto que sabemos calcular la derivada de una raíz, la derivada de una potencia cúbica, la derivada de la función seno y la derivada de 4x, estamos en condiciones de realizar cuidadosamente esta derivada:

Reglas de Derivacion

Reglas de derivación

Teorema

Derivada de una constante por una función

H) f es derivable en x=a

T) (kf(a))’ = k.f’(a)

Demostración:

f’(a)
------^------
k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f(a))

(k.f(a))’ = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f’(a)

x→a x - a x→a x - a

Nota:

El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada: (kf)’(x) = k.f’(x), si f es derivable en x.

Teorema

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a

T) f+g es derivable en x=a

(f+g)’(a) = f’(a) + g’(a)

Demostración:

(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a)

(f+g)’(a) = lim ------------------- = lim -------------------------

x→a (x-a) x→a (x-a)

f(x) - f(a) g(x) - g(a)
= lim ----------- + ------------ = f’(a) + g’(a)
x→a (x-a) (x-a)

Notas: En general (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x), si f y g son derivables en x. El teorema se extiende a más de dos funciones. Ejemplo (x + Lx)’ = x’ + (Lx)’ = 1 + 1/x

Teorema Derivada del producto H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a T) f.g es derivable en x=a

(f.g)’(a) = f’(a).g(a) + f(a).g’(a)

Demostración:

(f.g)(x) - (f.g)(a) f(x).g(x) - f(a).g(a)

(f.g)’(a) = lim ------------------- = lim --------------------

x→a (x-a) x→a (x-a)

f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)

= lim ------------------------------------------ =

x→a (x-a)

f’(a) g’(a)

(*) g(a) -----^----- -----^-----

-^- (f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))

lim g(x)------------- + f(a)------------- = f’(a).g(a) + g’(a).f(a) x→a (x-a) (x-a)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a

(def. de continuidad) existe g(a) y limx→ag(x)=g(a).

Notas:

(f.g)’(x) = f’(x).g(x) + f(x).g’(x). Generalización para tres funciones: (f(x).g(x).h(x))’ = f’(x).g(x).h(x) + f(x).g’(x).h(x) + f(x)g(x).h’(x)

Ejemplo (x2.sen x)’ = 2xsen x + x2cos x

Teorema Derivada del cociente H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de 0 T) f/g es derivable en x=a

(f/g)’(a) = (f’(a).g(a) - f(a).g’(a))/g2(a)

Demostración:

(f/g)(x) - (f/g)(a) f(x)/g(x) - f(a)/g(a)

(f/g)’(a) = lim ------------------- = lim ---------------------

x→a x - a x→a x - a

f(x)g(a) - g(x)f(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a)

= lim ----------------------------------------- =

x→a (x - a)g(x)g(a)

f’(a) g’(a)
-----^----- -----^-----
(f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))
g(a)------------- - f(a)------------- g(a)f’(a) - f(a)g’(a)

lim x - a x - a = -------------------- x→a ------------------------------------ g2(a)

g(x)g(a)
‘→ g(a) (*)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a

(def. de continuidad) existe g(a) y limx→ag(x)=g(a).

Nota: (f/g)’(x) = (f’(x)g(x) - f(x)g’(x))/g2(x). Ejemplo

(cos x)x2 - (sen x)2x xcos x - 2sen x

(sen x/x2)’ = --------------------- = ---------------

x4 x3

Teorema Derivada de la función compuesta Regla de la cadena H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=f(a) T) gof es derivable en x=a

(gof)’(a) = g’[f(a)].f’(a)

Demostración:

g[f(x)] - g[f(a)]

(gof)’(a) = [g[f(x)]’(a) = lim ----------------- =

x→a x - a

g’[f(a)] f’(a)
--------^-------- ----^----
g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

lim ------------------ . ---------- = g’[f(a)].f’(a) x→a f(x) - f(a) x - a

Nota: (gof)’(x) = g’[f(x)].f’(x). Ejemplo 1 h(x) = ex2 + 2x

h es la composición de g(x) = ex y f(x)=x2 + 2x.

h’(x) = g’[f(x)].f’(x) = ex2+2x.(2x + 2)

Ejemplo 2 h(x) = sen(x2)

h es la composición de g(x)=sen x y f(x)=x2.

h’(x) = g’[f(x)].f’(x) = cos (x2).2x

Teorema Derivada de la función inversa H) f es derivable en x=a (f’(a) distinto de 0)

f-1(x) es continua en f(a)

T) f-1 es derivable en x=f(a).

[f-1(f(a))]’ = 1/f’(a)

Demostración:

Queremos calcular

f-1(x) - f-1(f(a)) f-1(x) - a

lim ----------------- = lim ------------ x→f(a) x - f(a) x→f(a) x - f(a)

Definamos g(x)=(f(x) - f(a))/(x - a) para todo x distinto de a.

Consideremos (gof-1)(x) / (gof-1)(x) = g[f-1(x)]

1) lim f-1(x) = a pues f-1(x) es continua en f(a) por H)

x→f(a)
f(x) - f(a)

2) lim g(x) = lim ----------- = f’(a) pues f es derivable en a

x→a x→a x - a por H)

De 1) y 2) por límite de la función compuesta

lim g[f-1(x)] = f’(a) x→f(a)

f[f-1(x)] - f(a) x - f(a)

g[f-1(x)] = ---------------- = ----------

f-1(x) - a f-1(x) - a

f-1(x) - a 1

lim ------------ = -----

x→f(a) x - f(a) f’(a)

Nota: (f-1)’(f(x)) = 1/f’(x). Ejemplo y = f(x) = ex

x = f-1(y) = Ly

f-1′(f(x)) = 1/f’(x) = 1/ex = 1/y

Así, la derivada de Ly es 1/y.

f

Ly = x --------→ ex = y

←------

Definiendo Una Derivada

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. (El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.) La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.

La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere al gráfico de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad.

Introduccion a Derivadas

Sea continua en [a, b] y diferenciable en (a, b).

(i) Si f’(x)>0 para toda x en (a, b) entonces f es creciente en [a, b]

(ii) Si f’(x)<0>0 para x > 0 se llega a la información dada de la tabla.

Intervalo Signo de la f’(x) Y=f(x)

(-∞,0] - decremento

[0, ∞) + incremento

MAXIMOS Y MINIMOS

Supóngase que una función f esta definida en un intervalo I. Los valores máximos y mínimos de f en I (si hay algunos) se llaman extremos de la función. En las dos siguientes definiciones, se distingue dos clases de extremos.

Extremos absolutos

(i) Un numero f (c1) en una máximo absoluto de una función f si f(x) ≤ f (c1) para toda x en el dominio de f.

(ii) Un numero f (c1) en una máximo absoluto de una función f si f(x) ≥ f (c1) para toda x en el dominio de f.

Los extremos absolutos se denominan también extremos globales.

Ejemplos

a) Para f(x)=sen x, su máximo absoluto es y su mínimo absoluto es

b) La función f(x)=x2 tiene el mínimo absoluto f(0)=0 pero no tiene máximo absoluto

c) no tiene máximo ni mínimo absoluto

Concavidad

A menudo se dice que una forma es cóncava hacia arriba “retiene el agua” mientras que una forma cóncava hacia abajo “Derrama el agua”

Sea f diferenciable en (a, b)

(i) Si f’ es una función creciente en (a, b), entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo

(ii) Si f’ es una función decreciente en (a, b), entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo.

En otras palabras, si la pendiente de la recta tangente aumenta (disminuye) en (a, b), entonces la grafica de la función es cóncava hacia arriba (abajo) en el intervalo. En forma equivalente, la grafica de la función es cóncava hacia arriba en un intervalo, si en cualquier punto de la grafica esta situado por encima de la tangente en el punto. Una grafica que es cóncava hacia abajo en un intervalo esta situado por debajo de las rectas tangentes.

Ejemplos:

Encontrar todos los puntos de inflexión de f(x)=-x3+x2

Solución:

Las derivadas primera y segunda de f son, respectivamente.

f’(x)=−3×2+2x y f’’(x)=−6x+2

Puesto que f’’(x)=0 en , el punto , es el único punto de flexión posible.

Ahora bien:

f’’(x)=6(-x+ )>0 para x<>

Implica que la grafica de f es cóncava hacia arriba en (-∞, ) y hacia abajo en ( , ) es un punto de inflexión

CRITERIOS DE LA PRIMERA Y DE LA SEGUNDA DERIVADA

El saber si una función tiene o no tiene extremos relativos es de gran ayuda para trazar la grafica de una función. Y se conciben dos criterios para determinar cuando un valor crítico es un extremo relativo. Estos valores críticos son: primera derivada y segunda derivada.

Primera derivada

Supongase que f es diferenciable en (a, b) y que c es un valor critico en el intervalo. Si d’(x)<0>0 para todo x en (c, b)entonces f© es un mínimo relativo.

Extremos relativos

Sea f continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), excepto posiblemente en el valor critico de c.

(i) Si f’(x)>0 para a<0>0 para a<0>0 para -∞<0><3 y="f(x)">0, entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba en cierto intervalo (a, b) que contiene a c. Entonces f© es, necesariamente un mínimo relativo. De manera semejante, f’’© es un máximo relativo. Esto se llama anterior de la segunda derivada.

ENTREMOS RELATIVOS.

Sea f una función para la cual f’’ existe en un intervalo (a, b) que contiene al numero critico c.

(i) Si f’’©>0, entonces f© es un mínimo relativo

(ii) Si f’’©<0, 2x="2x(2×2–1)">