Derivadas de Orden Superior

La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En la Figura 1 se observa que la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo (−2,0) y se curva hacia arriba en el intervalo (0,5).

Figura 1

Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es:

i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)

ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)

Ejemplos:

1)

Figura 2

Observa que la función f(x) = x2 es cóncava hacia arriba y su derivada f’(x) = 2x es creciente en el intervalo (−5,5).

2)

Figura 3

Observa que la función f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo y su derivada f’(x) = −2x es decreciente en el intervalo (−5,5).

Teorema: Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:

i) si f”(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).

ii) si f”(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b).

Ejemplos:

1) En la Figura 2, tenemos que para f(x) = x2 la segunda derivada es positiva,

esto es, f”(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

2) En la Figura 3, tenemos que para f(x) = -x2 la segunda derivada es negativa,

esto es, f”(x) = −2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Definición: El punto de inflexión de una gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa).

Observa que en Figura 1, la gráfica tiene un cambio de concavidad en el punto (0,0). A la izquierda de este punto la gráfica es cóncava hacia abajo y a la derecha de este punto la gráfica es cóncava hacia arriba. Por tanto, (0,0) es un punto de inflexión.

Como el punto de inflexión se presenta donde cambia la concavidad de la gráfica, también es cierto que el signo de la segunda derivada (f”) cambia es estos puntos. De manera que, para localizar los puntos de inflexión, calculamos los valores de x para los que f”(x) = 0 ó para los que f”(x) no existe.

Maximos y Minimos De Una funcion

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F’(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))

Mínimos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F’(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).

Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

Funciones Crecientes y Decrecientes

Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo .

De esta esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abcisa

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

Una función es estrictamente decreciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que es estrictamente decreciente en el intervalo .

Introcucion de Derivada

Derivadas

Rectas tangentes y secantes a una curva. Pendiente

Una recta es secante a una curva cuando la corta en dos puntos distintos. Es tangente a la curva cuando la toca en un sólo punto.

La pendiente de la recta secante a la curva de la figura es el cociente :

La pendiente de la recta tangente a la curva de la figura en un punto es el cociente :

Tasa de variación media

La tasa de variación media de una función y=f(x) en un intervalo [a,b] es el cociente entre la variación de la función desde el punto a hasta el punto b y b-a. La representamos por TVM[a,b] y es:

Como se aprecia en la figura superior, la tasa de variación media de la función f(x) coincide con la pendiente de la recta secante a f(x) en los puntos x=a y x=b.

Derivada de una función en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es finito, de las tasas de variación media, TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero. La representamos por f’(a) y es :

Que también se llama tasa de variación instantanea y nos indica la variación instantanea de la función en ese punto.

Derivada de una función en un punto.Explicacion dinámica

Una función y=f(x) es derivable en x=a si y sólo si tiene derivada finita en ese punto.

Función derivada.

La función derivada de una función y=f(x), que sea derivable en su dominio, es una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en ese punto. La representamos por f’(x) o y’ y viene dada por :

Ejemplo:

Función derivada. Explicación dinámica

Derivadas laterales

La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasas de variación media TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero por la izquierda del cero, es decir tomando sólo valores negativos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la izquierda y es :

Derivada lateral por la izquierda.Explicación dinámica

La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasas de variación media, TVN[a,a+h] cuando h tiende a cero por la derecha del cero, es decir, tomando sólo valores positivos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la derecha y es:

Derivada lateral por la derecha. Explicación dinámica

Si en un punto x=a, las derivadas laterales no coinciden, es decir, son distintas, la función no es derivable en el punto x=a.

Si la función tiene derivada en un punto x=a, existen las derivadas laterales y son iguales:

Relación entre continuidad y derivabilidad