Aplicacion de Funciones

- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si una función f(x) consiste en hallar el seno de x y otra función g(x) consiste en extraer la raíz cuadrada de x, la función g[f(x)] consistirá en extraer la raíz cuadrada del seno de x.

x

f(x)=sen(x)

La función g[f(x)] es la compuesta de

y





En esta escena están representadas las funciones:

También pueden verse los puntos:

• P[a,f(a)] de la función f(x)

• Q[a,g(a)] de la función g(x)

• R{a,g[f(a)]} de g[f(x)]

Observa para cada valor de x=a, cómo se calcula la ordenada del punto R de la función compuesta de f y g, y escribe en tu cuaderno la respuesta a las siguientes preguntas:

a) ¿para qué valores de x desaparece el punto R y no existe la función compuesta?

b) ¿por qué ocurre esto?

En general, dadas dos funciones f y g

x

f(x)

g[f(x)]



g º f

La función g º f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[f(x)]

.

EJERCICIO 12

Sean

y

¿Cuánto vale f(4)? ¿y g(2)?

Calcula g[f(4)] y g[f(0.5)]

¿Cuál es la función gºf(x)?

Haz este ejercicio en tu cuaderno y compruébalo en la escena de la izquierda.

El concepto de función corresponde a una idea intuitiva presente en el idioma de la calle: los impuestos que pagan las personas están (o deberían estar) en función de los ingresos, los resultados obtenidos en los estudios son función del tiempo dedicado a estudiar, el consumo de gasolina en un viaje es función de (“depende de”) los kilómetros recorridos, la estatura es función de la edad, el número de escaños obtenidos por un partido político después de unas elecciones es función del número de votos obtenidos (ley de Hónt), el área de un cuadrado es función del lado, el volumen de agua que contiene una piscina es función de sus medidas, la proporción de Carbono 14 presente en una momia egipcia es función del tiempo transcurrido desde la muerte, etc.

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1. TABLAS DE DATOS

Examinemos los siguientes datos que relacionan un número “x” perteneciente al conjunto

A={ −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} con su duplo (“2x”):

x −3 −2 −1 0 1 2 3

2x −6 −4 −2 0 2 4 6

Desde el punto de vista matemático se trata de una función que transforma el conjunto de números: A={ −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} en otro conjunto de números: B={−6, −4, −2, 0, 2, 4, 6}. Se dice que esta función actúa de la siguiente forma: f(x)=2x, y que la imagen de −2 es −4, y la de 3 es 6 (f(−2) = −4, f(3) = 6). Decimos que la imagen inversa de 2 es 1 y la de 4 es 2

(f-1(2) = 1, f-1(4) = 2).

Además de la expresión analítica de una función (f(x) = 2x), se suelen utilizar gráficas para visualizarlas y entenderlas de una forma rápida:

¿Tiene sentido en este ejemplo unir los puntos mediante una recta?

Busca otros ejemplos de funciones que transformen conjuntos de pocos números en otros conjuntos de números.

2. SUCESIONES (páginas 88–91 del libro)Se llama sucesión de números reales a toda función que hace corresponder a cada número natural (1, 2, 3, 4, 5, …..) un número real. Ejemplos típicos son las progresiones aritméticas (2, 5, 8, 11, 14,…..) y las progresiones geométricas ( 3, 6, 12, 24,…). Otras sucesiones que no son progresiones son las siguientes:

los cuadrados de los números naturales 1, 4, 9, 16, 25,…..; los números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…..; los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15,…..En este tipo de funciones, por ejemplo en la última, en lugar de escribir f(1)=1, f(2)=3, f(3)=6, etc., se suele escribir: a1=1, a2=3, a3=6, y al término general se le designa por an

3. INTERPOLACIÓN

Se trata de un problema importante que trataremos un poco más adelante.

4. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una? función es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo).

Por ejemplo la función f(x) = 1/x asocia a cada número real distinto de cero su inverso. El subconjunto formado por los números reales que tienen imagen, se llama dominio de la función. En este ejemplo el dominio está formado por todos lonúmeros realesdistintos del cero. D(f) = R - {0}.Por ejemplo la función f(x) = tiene por dominio al conjunto de los números reales mayores o iguales que cero, ya que la raíz de números negativos no se puede calcular.A continuación vamos a ver algunos ejemplos para recordar los conceptos de imagen de un elemento, de imagen inversa y de dominio. Después recordaremos y experimentaremos con las gráficas de algunas funciones.

5. IMAGEN DE UN ELEMENTO.En la siguiente imagen pulsa en el punto x (original) que está sobre el eje de abcisas y podrás ver su imagen sobre el eje de ordenadas (f(x)). Halla las imágenes de −1, 2, 3, 1/2, 0.7 y −4/3 y anota los resultados. ¿Cuál es el conjunto imagen de esta función? ¿Podrías dar la expresión analítica de la función?

6. IMAGEN INVERSA o RECÍPROCA DE UN ELEMENTOEn la siguiente imagen pulsa sobre y para ver cuál es el valor de su imagen inversa, es decir de f-1(y). Halla las imágenes inversas de 4, 9, 2.5, 1/3 y −3. ¿Cuál es el dominio y cuál el conjunto imagen de la función?

7. ¿QUÉ PUNTOS (X, Y) SON LOS QUE ESTÁN SOBRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN?

Es importante tener claro qué puntos son los que están sobre la gráfica de una función determinada. Por ejemplo, si f(x) = x2 (a veces, como ya sabes, se escribe: y=x2)¿cuálesde los siguientes puntos estarán sobre la gráfica de esa función: A(0, 1) B(0, 0), C(−1, 1/10), D(3, 6), E(3, 9). Contesta a la misma pregunta si la función es: f(x) = 3x + 1 y si los puntos son: A(1,4), B(0, 0), C(0, 1), D(4,11), E(4, 13).La siguiente figura está preparada para que al mover el punto P veas sus coordenadas y compruebes si está sobre la gráfica o no:

8. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Una? función “f (x)” lo que hace es transformar números “x” en nuevos números que designamos por “f(x)”. A veces sobre un elemento x actúa primero una función “f” y, después, sobre su imagen vuelve a actuar otra función “g”. Por ejemplo si f(x) = x2 y g(x) = 2x+1, veamos que sucede con le número 2 al actuar primero f y luego g sobre la imagen obtenida. f(2)=4 y g(4) = 9. Resumiendo hemos pasado del 2 al número 9. Esta nueva función que se obtiene haciendo actuar primero f y luego g se llama “f compuesta con g” y se escribe: “gof”. Lo que hemos hecho con el número 2 se suele escribir de la siguiente forma:

(gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 9.

Para un número “x” cualquiera tenemos: (gof)(x) = g(f(x)) = g(x2) = 2×2+1. Halla (fog)(x) y (gof)(x) cuando a) f(x) = 1/x y g(x)=2×3+4x-1 b) f(x) =2×2-x y g(x) = x+1Vamos a ver el asunto de la composición de funciones gráficamente para el caso del ejemplo que hemos visto en primer lugar:

Es siguiente applet es casi igual que el anterior, pero incorpora una pequeña novedad. Incorpora un nuevo punto: C, que es el punto que corresponde a la gráfica de gof para el valor “x”. Ese punto, por tanto, describe, al moverse “x” sobre el eje de abcisas, la gráfica de gof. Para que se pueda observar esa gráfica cambia el valor de “x” y observa que el punto C la va dibujando en color rojo:

Definición 98 (Composición de relaciones) Si y son relaciones, definimos la relación existe tal que y .

Dos funciones pueden componerse, dado que son relaciones: consideremos el caso particular en que , y son funciones. Por definición de composición: , para algún , para algún . Note que es una función, pues si , entonces .

Por lo anterior, es el conjunto de parejas de la forma . Volviendo a la analogía con las máquinas, si y son máquinas, entonces es la máquina que funciona así:

recibe un elemento y lo introduce en la máquina para obtener .

introduce a en la máquina para obtener .

En resumen, ha transformado a en . En el anterior proceso la máquina le aplica a . Para que esto tenga sentido se requiere que . Ahora, si , entonces , luego puede aplicarse a y tiene sentido (está definido). Además, . Lo anterior nos permite concluir que , y que , es decir,

Lo anterior lo resumimos en el siguiente lema (que es prácticamente una definición):

Lema 99 (composición de funciones) Sean Y funciones. Entonces es la siguiente función:

[Es decir, .]

Si y son como arriba y , entonces decimos que es una factorización de y . Esto lo podemos expresar mediante cualquiera de los siguientes diagramas:

Ejemplo 100 Sea la función y la función . Entonces es la función . Por otro lado, es la función . Note que y son funciones distintas (por ejemplo , luego ).

Observación 101 La composición de funciones no es necesariamente conmutativa.

Para antes de seguir leyendo: Si , entonces:

. . Finalmente observamos que la composición de funciones es asociativa. Esto es, si , y , entonces:

Lo anterior vale pues ambas funciones tienen el mismo dominio (), y para todo , .