Composicion de funciones

Dos funciones pueden componerse, dado que son relaciones: consideremos el caso particular en que , y son funciones. Por definición de composición: , para algún , para algún . Note que es una función, pues si , entonces .

Por lo anterior, es el conjunto de parejas de la forma . Volviendo a la analogía con las máquinas, si y son máquinas, entonces es la máquina que funciona así:

recibe un elemento y lo introduce en la máquina para obtener .

introduce a en la máquina para obtener .

En resumen, ha transformado a en .

En el anterior proceso la máquina le aplica a . Para que esto tenga sentido se requiere que . Ahora, si , entonces , luego puede aplicarse a y tiene sentido (está definido). Además, . Lo anterior nos permite concluir que , y que , es decir,

Lo anterior lo resumimos en el siguiente lema (que es prácticamente una definición):

Lema 99 (composición de funciones) Sean Y funciones. Entonces es la siguiente función:

Es decir, .

Si y son como arriba y , entonces decimos que es una factorización de y . Esto lo podemos expresar mediante cualquiera de los siguientes diagramas:

Ejemplo 100 Sea la función y la función . Entonces es la función . Por otro lado, es la función . Note que y son funciones distintas (por ejemplo , luego ).

Observación 101 La composición de funciones no es necesariamente conmutativa.

Para antes de seguir leyendo: Si , entonces:

. . Finalmente observamos que la composición de funciones es asociativa. Esto es, si , y , entonces:

Lo anterior vale pues ambas funciones tienen el mismo dominio (), y para todo , .