Reglas de Derivacion

Reglas de derivación

Teorema

Derivada de una constante por una función

H) f es derivable en x=a

T) (kf(a))’ = k.f’(a)

Demostración:

f’(a)
------^------
k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f(a))

(k.f(a))’ = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f’(a)

x→a x - a x→a x - a

Nota:

El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada: (kf)’(x) = k.f’(x), si f es derivable en x.

Teorema

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a

T) f+g es derivable en x=a

(f+g)’(a) = f’(a) + g’(a)

Demostración:

(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a)

(f+g)’(a) = lim ------------------- = lim -------------------------

x→a (x-a) x→a (x-a)

f(x) - f(a) g(x) - g(a)
= lim ----------- + ------------ = f’(a) + g’(a)
x→a (x-a) (x-a)

Notas: En general (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x), si f y g son derivables en x. El teorema se extiende a más de dos funciones. Ejemplo (x + Lx)’ = x’ + (Lx)’ = 1 + 1/x

Teorema Derivada del producto H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a T) f.g es derivable en x=a

(f.g)’(a) = f’(a).g(a) + f(a).g’(a)

Demostración:

(f.g)(x) - (f.g)(a) f(x).g(x) - f(a).g(a)

(f.g)’(a) = lim ------------------- = lim --------------------

x→a (x-a) x→a (x-a)

f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)

= lim ------------------------------------------ =

x→a (x-a)

f’(a) g’(a)

(*) g(a) -----^----- -----^-----

-^- (f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))

lim g(x)------------- + f(a)------------- = f’(a).g(a) + g’(a).f(a) x→a (x-a) (x-a)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a

(def. de continuidad) existe g(a) y limx→ag(x)=g(a).

Notas:

(f.g)’(x) = f’(x).g(x) + f(x).g’(x). Generalización para tres funciones: (f(x).g(x).h(x))’ = f’(x).g(x).h(x) + f(x).g’(x).h(x) + f(x)g(x).h’(x)

Ejemplo (x2.sen x)’ = 2xsen x + x2cos x

Teorema Derivada del cociente H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de 0 T) f/g es derivable en x=a

(f/g)’(a) = (f’(a).g(a) - f(a).g’(a))/g2(a)

Demostración:

(f/g)(x) - (f/g)(a) f(x)/g(x) - f(a)/g(a)

(f/g)’(a) = lim ------------------- = lim ---------------------

x→a x - a x→a x - a

f(x)g(a) - g(x)f(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a)

= lim ----------------------------------------- =

x→a (x - a)g(x)g(a)

f’(a) g’(a)
-----^----- -----^-----
(f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))
g(a)------------- - f(a)------------- g(a)f’(a) - f(a)g’(a)

lim x - a x - a = -------------------- x→a ------------------------------------ g2(a)

g(x)g(a)
‘→ g(a) (*)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a

(def. de continuidad) existe g(a) y limx→ag(x)=g(a).

Nota: (f/g)’(x) = (f’(x)g(x) - f(x)g’(x))/g2(x). Ejemplo

(cos x)x2 - (sen x)2x xcos x - 2sen x

(sen x/x2)’ = --------------------- = ---------------

x4 x3

Teorema Derivada de la función compuesta Regla de la cadena H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=f(a) T) gof es derivable en x=a

(gof)’(a) = g’[f(a)].f’(a)

Demostración:

g[f(x)] - g[f(a)]

(gof)’(a) = [g[f(x)]’(a) = lim ----------------- =

x→a x - a

g’[f(a)] f’(a)
--------^-------- ----^----
g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

lim ------------------ . ---------- = g’[f(a)].f’(a) x→a f(x) - f(a) x - a

Nota: (gof)’(x) = g’[f(x)].f’(x). Ejemplo 1 h(x) = ex2 + 2x

h es la composición de g(x) = ex y f(x)=x2 + 2x.

h’(x) = g’[f(x)].f’(x) = ex2+2x.(2x + 2)

Ejemplo 2 h(x) = sen(x2)

h es la composición de g(x)=sen x y f(x)=x2.

h’(x) = g’[f(x)].f’(x) = cos (x2).2x

Teorema Derivada de la función inversa H) f es derivable en x=a (f’(a) distinto de 0)

f-1(x) es continua en f(a)

T) f-1 es derivable en x=f(a).

[f-1(f(a))]’ = 1/f’(a)

Demostración:

Queremos calcular

f-1(x) - f-1(f(a)) f-1(x) - a

lim ----------------- = lim ------------ x→f(a) x - f(a) x→f(a) x - f(a)

Definamos g(x)=(f(x) - f(a))/(x - a) para todo x distinto de a.

Consideremos (gof-1)(x) / (gof-1)(x) = g[f-1(x)]

1) lim f-1(x) = a pues f-1(x) es continua en f(a) por H)

x→f(a)
f(x) - f(a)

2) lim g(x) = lim ----------- = f’(a) pues f es derivable en a

x→a x→a x - a por H)

De 1) y 2) por límite de la función compuesta

lim g[f-1(x)] = f’(a) x→f(a)

f[f-1(x)] - f(a) x - f(a)

g[f-1(x)] = ---------------- = ----------

f-1(x) - a f-1(x) - a

f-1(x) - a 1

lim ------------ = -----

x→f(a) x - f(a) f’(a)

Nota: (f-1)’(f(x)) = 1/f’(x). Ejemplo y = f(x) = ex

x = f-1(y) = Ly

f-1′(f(x)) = 1/f’(x) = 1/ex = 1/y

Así, la derivada de Ly es 1/y.

f

Ly = x --------→ ex = y

←------