sábado, 18 de julio de 2009

Introcucion de Derivada

Derivadas

Rectas tangentes y secantes a una curva. Pendiente

Una recta es secante a una curva cuando la corta en dos puntos distintos. Es tangente a la curva cuando la toca en un sólo punto.

La pendiente de la recta secante a la curva de la figura es el cociente :

La pendiente de la recta tangente a la curva de la figura en un punto es el cociente :

Tasa de variación media

La tasa de variación media de una función y=f(x) en un intervalo [a,b] es el cociente entre la variación de la función desde el punto a hasta el punto b y b-a. La representamos por TVM[a,b] y es:

Como se aprecia en la figura superior, la tasa de variación media de la función f(x) coincide con la pendiente de la recta secante a f(x) en los puntos x=a y x=b.

Derivada de una función en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es finito, de las tasas de variación media, TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero. La representamos por f’(a) y es :

Que también se llama tasa de variación instantanea y nos indica la variación instantanea de la función en ese punto.

Derivada de una función en un punto.Explicacion dinámica

Una función y=f(x) es derivable en x=a si y sólo si tiene derivada finita en ese punto.

Función derivada.

La función derivada de una función y=f(x), que sea derivable en su dominio, es una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en ese punto. La representamos por f’(x) o y’ y viene dada por :

Ejemplo:

Función derivada. Explicación dinámica

Derivadas laterales

La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasas de variación media TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero por la izquierda del cero, es decir tomando sólo valores negativos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la izquierda y es :

Derivada lateral por la izquierda.Explicación dinámica

La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasas de variación media, TVN[a,a+h] cuando h tiende a cero por la derecha del cero, es decir, tomando sólo valores positivos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la derecha y es:

Derivada lateral por la derecha. Explicación dinámica

Si en un punto x=a, las derivadas laterales no coinciden, es decir, son distintas, la función no es derivable en el punto x=a.

Si la función tiene derivada en un punto x=a, existen las derivadas laterales y son iguales:

Relación entre continuidad y derivabilidad

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